Predlažem da ostali čitaoci značajno prošire svoje školsko znanje o parabolama i hiperbolama. Hiperbola i parabola - jesu li jednostavne? ...jedva čekam =)
Hiperbola i njena kanonska jednadžba
Opšta struktura prezentacije materijala će ličiti na prethodni paragraf. Počnimo s općim konceptom hiperbole i zadatkom njene konstrukcije.
Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi. Imajte na umu da, za razliku od elipsa, uvjet ovdje nije nametnut, odnosno vrijednost “a” može biti manja od vrijednosti “be”.
Moram reći, sasvim neočekivano... jednačina "školske" hiperbole ni približno ne liči na kanonsku notaciju. Ali ova misterija će nas još morati čekati, ali za sada hajde da se počešemo po glavi i prisjetimo se koje karakteristične osobine ima dotična krivulja? Raširimo ga na ekran naše mašte graf funkcije ….
Hiperbola ima dvije simetrične grane.
Nije loš napredak! Svaka hiperbola ima ova svojstva, a sada ćemo sa iskrenim divljenjem gledati izrez ove linije:
Primjer 4
Konstruirajte hiperbolu zadanu jednadžbom
Rješenje: u prvom koraku ovu jednačinu dovodimo u kanonski oblik. Molimo zapamtite standardnu proceduru. Na desnoj strani trebate dobiti "jedan", tako da podijelimo obje strane originalne jednadžbe sa 20: 
Ovdje možete smanjiti oba razlomka, ali je optimalnije učiniti svaki od njih trospratni:
I tek nakon toga izvršite smanjenje:
Odaberite kvadrate u nazivnicima:
Zašto je bolje izvršiti transformaciju na ovaj način? Uostalom, razlomci na lijevoj strani mogu se odmah smanjiti i dobiti. Činjenica je da smo u razmatranom primjeru imali malo sreće: broj 20 je djeljiv i sa 4 i sa 5. U opštem slučaju, takav broj ne radi. Razmotrimo, na primjer, jednadžbu . Ovdje je sa djeljivošću sve tužnije i bez trospratni razlomci više nije moguće: 
Dakle, iskoristimo plod našeg rada - kanonsku jednačinu:
Kako konstruisati hiperbolu?
Postoje dva pristupa konstruisanju hiperbole - geometrijski i algebarski.
Sa praktične tačke gledišta, crtanje šestarom... rekao bih čak i utopijski, pa je mnogo isplativije ponovo koristiti jednostavne proračune kao pomoć.
Preporučljivo je pridržavati se sljedećeg algoritma, prvo gotov crtež, a zatim komentare:
U praksi se često susreće kombinacija rotacije za proizvoljan ugao i paralelnog prevođenja hiperbole. O ovoj situaciji se raspravlja na času Redukcija jednačine linije 2. reda na kanonski oblik.
Parabola i njena kanonska jednadžba
Gotovo je! Ona je ta. Spremni otkriti mnoge tajne. Kanonska jednadžba parabole ima oblik , gdje je realan broj. Lako je uočiti da u svom standardnom položaju parabola „leži na boku“, a njen vrh je u početku. U ovom slučaju, funkcija specificira gornju granu ovog reda, a funkcija – donju granu. Očigledno je da je parabola simetrična oko ose. Zapravo, zašto se mučiti:
Primjer 6
Konstruisati parabolu
Rješenje: vrh je poznat, pronađimo dodatne tačke. Jednačina 
određuje gornji luk parabole, jednačina određuje donji luk.
Kako bismo skratili snimanje proračuna, proračune ćemo izvršiti „jednom četkom“: 
Za kompaktno snimanje, rezultati se mogu sažeti u tabelu.
Prije izvođenja elementarnog crtanja tačku po tačku, formulirajmo strogi
definicija parabole:
Parabola je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od date tačke i date prave koja ne prolazi kroz tu tačku.
Tačka se zove fokus parabole, prava linija - ravnateljica (piše se sa jednim "es") parabole. Konstanta "pe" kanonske jednadžbe se zove fokalni parametar, što je jednako udaljenosti od fokusa do direktrise. U ovom slučaju . U ovom slučaju fokus ima koordinate, a direktrisa je data jednadžbom.
U našem primjeru: 
Definicija parabole je još jednostavnija za razumijevanje od definicija elipse i hiperbole. Za bilo koju tačku na paraboli, dužina segmenta (udaljenost od fokusa do tačke) jednaka je dužini okomice (udaljenosti od tačke do direktrise):
Čestitamo! Mnogi od vas danas su došli do pravog otkrića. Ispostavilo se da hiperbola i parabola uopće nisu grafovi „običnih“ funkcija, već imaju izraženo geometrijsko porijeklo.
Očigledno, sa povećanjem fokusnog parametra, grane grafa će se „podići“ gore-dole, približavajući se beskonačno blizu osi. Kako se vrijednost "pe" smanjuje, oni će se početi sabijati i rastezati duž ose
Ekscentricitet bilo koje parabole jednak je jedinici:
Rotacija i paralelna translacija parabole
Parabola je jedna od najčešćih linija u matematici i moraćete da je gradite veoma često. Stoga, obratite posebnu pažnju na završni paragraf lekcije, gdje ću razgovarati o tipičnim opcijama za lokaciju ove krivulje.
! Bilješka : kao iu slučajevima sa prethodnim krivuljama, ispravnije je govoriti o rotaciji i paralelnom prevođenju koordinatnih osa, ali će se autor ograničiti na pojednostavljenu verziju prikaza kako bi čitalac imao osnovno razumevanje ovih transformacija.
Razmotrimo pravu na ravni i tačku koja ne leži na ovoj pravoj. I elipsa, And hiperbola može se definirati na objedinjeni način kao geometrijski lokus tačaka za koji je omjer udaljenosti do date tačke i udaljenosti do date prave linije konstantna vrijednost
rang ε. Na 0 1 - hiperbola. Parametar ε je ekscentricitet i elipse i hiperbole. Od mogućih pozitivnih vrijednosti parametra ε, jedna, odnosno ε = 1, ispada da je neiskorištena. Ova vrijednost odgovara geometrijskom lokusu tačaka jednako udaljenih od date tačke i od date prave.
Definicija 8.1. Lokus tačaka u ravni jednako udaljenoj od fiksne tačke i od fiksne prave se naziva parabola.
Fiksna tačka se zove fokus parabole, a prava linija - direktrisa parabole. Istovremeno se vjeruje da ekscentricitet parabole jednako jedan.
Iz geometrijskih razmatranja slijedi da je parabola simetrična u odnosu na pravu liniju okomitu na direktrisu i koja prolazi kroz fokus parabole. Ova prava linija naziva se osa simetrije parabole ili jednostavno osi parabole. Parabola siječe svoju osu simetrije u jednoj tački. Ova tačka se zove vrh parabole. Nalazi se u sredini segmenta koji povezuje fokus parabole sa tačkom preseka njene ose sa direktrisom (slika 8.3).
Parabola jednadžba. Za izvođenje jednačine parabole biramo na ravni porijeklo na vrhu parabole, as x-osa- osa parabole, pozitivni smjer na kojoj je određen položajem fokusa (vidi sliku 8.3). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za dotičnu parabolu, a odgovarajuće varijable su kanonski.
Označimo udaljenost od fokusa do direktrise sa p. On je zvao fokalni parametar parabole.
Tada fokus ima koordinate F(p/2; 0), a direktrisa d je opisana jednadžbom x = - p/2. Lokus tačaka M(x; y), jednako udaljenih od tačke F i od prave d, dat je jednadžbom
Kvadratizirajmo jednačinu (8.2) i predstavimo slične. Dobijamo jednačinu
koji se zove kanonska jednadžba parabole.
Imajte na umu da je kvadriranje u ovom slučaju ekvivalentna transformacija jednačine (8.2), budući da su obje strane jednačine nenegativne, kao i izraz pod radikalom.
Vrsta parabole. Ako se parabola y 2 = x, čiji oblik smatramo poznatim, sabije sa koeficijentom 1/(2r) duž ose apscise, onda se dobija parabola opšteg oblika, koja je opisana jednačinom (8.3).
Primjer 8.2. Nađimo koordinate fokusa i jednadžbu direktrise parabole ako ona prolazi kroz tačku čije su kanonske koordinate (25; 10).
U kanonskim koordinatama, jednadžba parabole ima oblik y 2 = 2px. Pošto je tačka (25; 10) na paraboli, onda je 100 = 50p i stoga je p = 2. Prema tome, y 2 = 4x je kanonska jednačina parabole, x = - 1 je jednačina njene direktrise, a fokus je na tački (1; 0).
Optička svojstva parabole. Parabola ima sljedeće optička svojstva. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus parabole, tada će svi zraci svjetlosti nakon odbijanja od parabole biti paralelni s osom parabole (slika 8.4). Optičko svojstvo znači da u bilo kojoj tački M parabole normalni vektor tangenta čini jednake uglove sa žarišnim radijusom MF i osom apscise.
III nivo
3.1. Hiperbola dodiruje redove 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Zapišite jednačinu hiperbole pod uslovom da se njene ose poklapaju sa koordinatnim osa.
3.2. Napišite jednadžbe za tangente na hiperbolu
1) prolaz kroz tačku A(4, 1), B(5, 2) i C(5, 6);
2) paralelno sa pravom linijom 10 x – 3y + 9 = 0;
3) okomito na pravu 10 x – 3y + 9 = 0.
Parabola je geometrijsko mjesto tačaka u ravni čije koordinate zadovoljavaju jednačinu
Parabole parabole:
Dot F(str/2, 0) se zove fokus parabole, magnituda str – parametar , tačka O(0, 0) – top . U ovom slučaju, prava linija OF, oko koje je parabola simetrična, definira os ove krive.
 |
Magnituda 
Gdje M(x, y) – proizvoljna tačka parabole, tzv fokusni radijus
, ravno D: x = –str/2 – ravnateljica
(ne siječe unutrašnjost parabole). Magnituda 
naziva se ekscentricitet parabole.
Glavno karakteristično svojstvo parabole: sve tačke parabole su jednako udaljene od direktrise i fokusa (slika 24).
Postoje i drugi oblici jednadžbe kanonske parabole koji određuju druge smjerove njenih grana u koordinatnom sistemu (slika 25):
 |
Za parametrijska definicija parabole kao parametar t ordinatna vrijednost parabole može se uzeti:
Gdje t je proizvoljan realan broj.
Primjer 1. Odredite parametre i oblik parabole koristeći njenu kanonsku jednadžbu:
Rješenje. 1. Jednačina y 2 = –8x definira parabolu sa vrhom u tački O Oh. Njegove grane su usmjerene lijevo. Poređenje ove jednačine sa jednačinom y 2 = –2px, nalazimo: 2 str = 8, str = 4, str/2 = 2. Dakle, fokus je u tački F(–2; 0), jednadžba direktrisa D: x= 2 (slika 26).
 |
2. Jednačina x 2 = –4y definira parabolu sa vrhom u tački O(0; 0), simetrično oko ose Oy. Njegove grane su usmjerene prema dolje. Poređenje ove jednačine sa jednačinom x 2 = –2py, nalazimo: 2 str = 4, str = 2, str/2 = 1. Dakle, fokus je u tački F(0; –1), jednadžba direktrisa D: y= 1 (slika 27).
Primjer 2. Odredite parametre i tip krive x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Napravite crtež.
Rješenje. Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe koristeći metodu kompletne kvadratne ekstrakcije:
x 2 + 8x– 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
Kao rezultat dobijamo
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Ovo je kanonska jednadžba parabole sa vrhom u tački (–4, –3), parametar str= 8, grane usmjerene prema gore (), os x= –4. Fokus je na tački F(–4; –3 + str/2), tj. F(–4; 1) Direktorica D dato jednačinom y = –3 – str/2 ili y= –7 (Sl. 28).
Primjer 4. Napišite jednačinu za parabolu čiji je vrh u tački V(3; –2) i fokus na tačku F(1; –2).
Rješenje. Tem i fokus date parabole leže na pravoj liniji paralelnoj s osi Ox(iste ordinate), grane parabole su usmjerene ulijevo (apscisa fokusa je manja od apscise vrha), udaljenost od fokusa do temena je str/2 = 3 – 1 = 2, str= 4. Dakle, tražena jednačina
(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) ili ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Zadaci za samostalno rješavanje
Nivo I
1.1. Odredite parametre parabole i konstruirajte je:
1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;
3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.
1.2. Napišite jednačinu parabole sa vrhom u početnoj fazi ako znate da:
1) parabola se nalazi u lijevoj poluravni simetrično u odnosu na osu Ox I str = 4;
2) parabola se nalazi simetrično u odnosu na osu Oy i prolazi kroz tačku M(4; –2).
3) direktrisa je data jednačinom 3 y + 4 = 0.
1.3. Napišite jednačinu za krivu čije su sve tačke jednako udaljene od tačke (2; 0) i prave linije x = –2.
Nivo II
2.1. Odredite tip i parametre krive.
44. Definicija parabole. Izvođenje kanonske jednadžbe parabole.
definicija: Parabola je geometrijsko mjesto tačaka na ravni za koje je udaljenost do neke fiksne tačke F ove ravni jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije. Tačka F naziva se fokus parabole, a fiksna linija direktrisa parabole.
Da bismo izveli jednačinu, napravimo:
WITH 
prema definiciji:
Pošto je 2 >=0, parabola leži u desnoj poluravni. Kako se x povećava od 0 do beskonačnosti 
. Parabola je simetrična oko Oxa. Tačka presjeka parabole sa njenom osom simetrije naziva se vrh parabole.
45. Krive drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o kvp.
Postoji 8 vrsta KVP-a:
1.elipse 
2.hiperbole 
3.parabole 
Krive 1,2,3 su kanonski presjeci. Ako konus siječemo ravninom koja je paralelna s osi konusa, dobićemo hiperbolu. Ako je ravan paralelna sa generatrisom, onda je to parabola. Sve ravnine ne prolaze kroz vrh konusa. Ako je to bilo koja druga ravan, onda je to elipsa.
4. par paralelnih pravih y 2 +a 2 =0, a0
5. par linija koje se seku y 2 -k 2 x 2 =0
6.jedna prava y 2 =0
7.jedan bod x 2 + y 2 =0
8.prazan skup - prazna kriva (kriva bez tačaka) x 2 + y 2 +1=0 ili x 2 + 1=0
Teorema (glavna teorema o KVP): Jednačina oblika
a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0
može predstavljati samo krivu jednog od ovih osam tipova.
Ideja za dokaz je prelazak na koordinatni sistem u kojem će KVP jednačina poprimiti najjednostavniji oblik, kada vrsta krive koju predstavlja postane očigledna. Teorema se dokazuje rotacijom koordinatnog sistema kroz ugao pod kojim nestaje član sa proizvodom koordinata. I uz pomoć paralelnog prenosa koordinatnog sistema u kojem nestaje ili pojam sa promenljivom x ili termin sa promenljivom y.
Prelazak na novi koordinatni sistem: 1. Paralelni prijenos 
2. Rotirajte 
45. Površine drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o pvp-u. Površine rotacije.
P 
VP - skup tačaka čije pravougaone koordinate zadovoljavaju jednačinu 2. stepena: (1)
Pretpostavlja se da je barem jedan od koeficijenata kvadrata ili proizvoda različit od 0. Jednačina je invarijantna u odnosu na izbor koordinatnog sistema.
Teorema Bilo koja ravan seče PVP duž CVP-a, sa izuzetkom posebnog slučaja kada je cela ravan u preseku (PVP može biti ravan ili par ravni).
Postoji 15 vrsta PVP-a. Navedimo ih, naznačujući jednačine po kojima su specificirani u odgovarajućim koordinatnim sistemima. Ove jednačine se nazivaju kanonskim (najjednostavnijim). Konstruisati geometrijske slike koje odgovaraju kanonskim jednadžbama koristeći metodu paralelnih presjeka: Presjeći površinu koordinatnim ravnima i ravnima paralelnim njima. Rezultat su presjeci i krivulje koje daju ideju o obliku površine.
1
. Elipsoid. 
Ako je a=b=c onda dobijamo sferu.
2. Hiperboloidi.
1). Hiperboloid od jednog lista: 
Presjek hiperboloida od jednog lista po koordinatnim ravninama: XOZ: 
- hiperbola.
YOZ: 
- hiperbola.
XOY avion: 
- elipsa.
2
). Hiperboloid sa dva lista. 
Porijeklo je tačka simetrije.
Koordinatne ravni su ravni simetrije.
Avion z
=
h siječe hiperboloid duž elipse 
, tj. avion z
=
h počinje presijecati hiperboloid na | h
|
c. Presjek hiperboloida ravninama x
= 0
I y
= 0
- ovo su hiperbole.
Brojevi a, b, c u jednadžbama (2), (3), (4) nazivaju se poluosama elipsoida i hiperboloida.
3. Paraboloidi.
1). Eliptični paraboloid: 
Ravan presjek z
=
h Tu je 
, Gdje 
. Iz jednačine je jasno da je z 0 beskonačna posuda.
Presjek ravni y
=
h I x=
h
- ovo je parabola i općenito
2
). Hiperbolički paraboloid: 
Očigledno je da su ravni XOZ i YOZ ravni simetrije, a z osa je osa paraboloida. Presjek paraboloida s ravninom z
=
h– hiperbole: 
,
. Avion z=0
siječe hiperbolički paraboloid duž dvije ose 
koje su asimptote.
4. Konus i cilindri drugog reda.
1). Konus je površina 
. Konus je formiran pravim linijama koje prolaze kroz ishodište 0 (0, 0, 0). Poprečni presjek konusa je elipsa sa poluosama 
.
2
). Cilindri drugog reda.
Ovo je eliptični cilindar 
.
Koju god liniju da uzmemo koja seče elipse i paralelna je sa Oz osom, zadovoljava ovu jednačinu. Pomicanjem ove prave linije oko elipse dobijamo površinu.
G 
hiperbolički cilindar:
Na ravni XOU to je hiperbola. Pravu liniju koja siječe hiperbolu pomičemo paralelno sa Oz duž hiperbole.
Parabolički cilindar: 
N 
a ravan XOU je parabola.
Cilindrične površine formiraju se ravnom linijom (generatorom) koja se kreće paralelno sa sobom duž određene prave linije (vodiče).
10. Par ravnina koje se seku 
11.Par paralelnih ravni 
12.
- ravno
13. Prava linija - "cilindar" izgrađen na jednoj tački 
14.Jedan bod 
15.Empty set 
Glavna teorema o PVP-u: Svaki PVP pripada jednom od 15 gore navedenih tipova. Ne postoje drugi PVP.
Površine rotacije. Neka je zadan PDSC Oxyz i u ravni Oyz linija e definisana jednačinom F(y,z)=0 (1). Napravimo jednadžbu za površinu dobivenu rotacijom ove linije oko ose Oz. Uzmimo tačku M(y,z) na pravoj e. Kada se ravan Oyz rotira oko Oza, tačka M će opisati kružnicu. Neka je N(X,Y,Z) proizvoljna tačka ovog kruga. Jasno je da je z=Z. 
.
Zamjenom pronađenih vrijednosti z i y u jednačinu (1) dobijamo tačnu jednakost: 
one. koordinate tačke N zadovoljavaju jednačinu 
. Dakle, bilo koja tačka na površini rotacije zadovoljava jednačinu (2). Nije teško dokazati da ako tačka N(x 1 ,y 1 ,z 1) zadovoljava jednačinu (2) onda pripada razmatranoj površini. Sada možemo reći da je jednačina (2) željena jednačina za površinu okretanja.
| " |
Kroz ovo poglavlje pretpostavlja se da je određena skala odabrana u ravni (u kojoj leže sve figure koje se razmatraju u nastavku); Razmatraju se samo pravougaoni koordinatni sistemi sa ovom skalom.
§ 1. Parabola
Parabola je poznata čitaocu iz školskog predmeta matematike kao kriva, što je graf funkcije
(Sl. 76). (1)
Graf bilo kojeg kvadratnog trinoma
je također parabola; je moguće jednostavnim pomjeranjem koordinatnog sistema (nekim vektorom OO), tj. transformacijom
osigurati da se graf funkcije (u drugom koordinatnom sistemu) poklapa sa grafikom (2) (u prvom koordinatnom sistemu).
Zapravo, zamijenimo (3) jednakošću (2). Dobijamo
Želimo izabrati tako da koeficijent at i slobodni član polinoma (u odnosu na ) na desnoj strani ove jednakosti budu jednaki nuli. Da bismo to učinili, određujemo iz jednačine
koji daje
Sada određujemo iz uslova
u koji zamjenjujemo već pronađenu vrijednost. Dobijamo
Dakle, pomoću pomaka (3), u kojem
prešli smo na novi koordinatni sistem, u kojem je jednadžba parabole (2) dobila oblik
(Sl. 77).
Vratimo se na jednačinu (1). Može poslužiti kao definicija parabole. Prisjetimo se njegovih najjednostavnijih svojstava. Kriva ima os simetrije: ako tačka zadovoljava jednačinu (1), onda tačka simetrična tački M u odnosu na ordinatnu os takođe zadovoljava jednačinu (1) - kriva je simetrična u odnosu na os ordinate (slika 76) .
Ako je , tada parabola (1) leži u gornjoj poluravni, imajući jednu zajedničku točku O sa osom apscise.
Sa neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti apscise, ordinata također raste neograničeno. Opšti izgled krivulje prikazan je na Sl. 76, a.
Ako je (slika 76, b), tada se kriva nalazi u donjoj poluravni simetrično u odnosu na osu apscise krive.
Ako prijeđemo na novi koordinatni sistem, dobijen iz starog zamjenom pozitivnog smjera ordinatne ose suprotnim, tada će parabola, koja ima jednačinu y u starom sistemu, dobiti jednačinu y u novom koordinatni sistem. Stoga, kada proučavamo parabole, možemo se ograničiti na jednadžbe (1), u kojima .
Konačno promijenimo nazive osa, tj. prelazimo na novi koordinatni sistem, u kojem će osa ordinata biti stara osa apscisa, a osa apscisa stara osa ordinata. U ovom novom sistemu, jednačina (1) će biti zapisana u obliku
Ili, ako je broj označen sa , u obliku
Jednačina (4) se u analitičkoj geometriji naziva kanonskom jednačinom parabole; pravougaoni koordinatni sistem u kojem data parabola ima jednačinu (4) naziva se kanonski koordinatni sistem (za ovu parabolu).
Sada ćemo ustanoviti geometrijsko značenje koeficijenta. Da bismo to uradili, uzimamo poentu
naziva fokus parabole (4), a prava linija d, definisana jednačinom
Ova prava se zove direktrisa parabole (4) (vidi sliku 78).
Neka je proizvoljna tačka parabole (4). Iz jednačine (4) slijedi da je, prema tome, udaljenost točke M od direktrise d broj
Udaljenost tačke M od fokusa F je
Ali, stoga
Dakle, sve tačke M parabole jednako su udaljene od njenog fokusa i direktrise:
Obrnuto, svaka tačka M koja zadovoljava uslov (8) leži na paraboli (4).
Zaista,
dakle,
i, nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova,
Dokazali smo da je svaka parabola (4) lokus tačaka jednako udaljenih od fokusa F i od direktrise d ove parabole.
Istovremeno smo utvrdili geometrijsko značenje koeficijenta u jednačini (4): broj je jednak udaljenosti između fokusa i direktrise parabole.
Pretpostavimo sada da su tačka F i prava d koja ne prolazi kroz ovu tačku proizvoljno date na ravni. Dokažimo da postoji parabola sa fokusom F i direktrisom d.
Da biste to učinili, povucite pravu g kroz tačku F (slika 79), okomitu na pravu d; označimo tačku preseka obe prave sa D; udaljenost (tj. udaljenost između tačke F i prave linije d) će biti označena sa .
Okrenimo pravu liniju g u osu, uzimajući smjer DF na njoj kao pozitivan. Napravimo ovu osu osom apscisa pravougaonog koordinatnog sistema čiji je početak sredina O segmenta
Tada pravac d također dobiva jednačinu .
Sada možemo napisati kanonsku jednačinu parabole u odabranom koordinatnom sistemu:
gdje će tačka F biti fokus, a prava d će biti direktrisa parabole (4).
Gore smo utvrdili da je parabola geometrijsko mjesto tačaka M jednako udaljenih od tačke F i prave d. Dakle, možemo dati takvu geometrijsku (tj. nezavisnu od bilo kojeg koordinatnog sistema) definiciju parabole.
Definicija. Parabola je lokus tačaka jednako udaljenih od neke fiksne tačke („fokus“ parabole) i neke fiksne linije („direktrisa“ parabole).
